Modèles mathématiques du traitement de signal

Le cours de Modèles mathématiques du traitement du signal présente les outils permettant de représenter, analyser et modéliser les signaux et les systèmes. Un signal peut être continu ou discret, déterministe ou aléatoire, et il est souvent étudié dans l’espace des signaux d’énergie finie. Les systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI) jouent un rôle central : leur sortie est donnée par la convolution entre l’entrée et la réponse impulsionnelle, et leur comportement en fréquence s’obtient via la transformée de Fourier, où la convolution dans le temps devient un produit en fréquence. La série de Fourier permet de décomposer un signal périodique en harmoniques, tandis que la transformée de Fourier généralise cette analyse aux signaux non périodiques. Les transformées de Laplace (continu) et en Z (discret) sont utilisées pour étudier les fonctions de transfert et la stabilité, qui dépend de la position des pôles (partie réelle négative en continu, cercle unité en discret). Les systèmes discrets sont décrits par des équations aux différences et se classent en filtres FIR (toujours stables) ou IIR (stabilité liée aux pôles). Le théorème d’échantillonnage de Shannon impose une fréquence d’échantillonnage au moins égale au double de la fréquence maximale du signal afin d’éviter l’aliasing. Le cours aborde aussi les signaux aléatoires (espérance, variance, autocorrélation, densité spectrale de puissance) ainsi que le bruit et l’estimation optimale, notamment via le filtre de Wiener. Enfin, une ouverture vers les modèles non linéaires est faite avec la série de Volterra, qui généralise la convolution aux systèmes non linéaires avec mémoire.